Theorem xlesubadd 9666

Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 8196 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlesubadd	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 984	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
2		simpl2 985	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
3	2	xnegcld 9638	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -e B e. RR* )
4		xaddcl 9643	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
5	1, 3, 4	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
7		simpll3 1022	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> C e. RR* )
8		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> B e. RR )
9		xleadd1 9658	. . . 4 |- ( ( ( A +e -e B ) e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
11		xnpcan 9655	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
12	1, 11	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
13	12	breq1d 3939	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( ( A +e -e B ) +e B ) <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e B ) ) )
14	10, 13	bitrd 187	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
15		simpr3 989	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ C )
16		oveq1 5781	. . . . . . . . 9 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = ( +oo +e -oo ) )
17		pnfaddmnf 9633	. . . . . . . . 9 |- ( +oo +e -oo ) = 0
18	16, 17	syl6eq 2188	. . . . . . . 8 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = 0 )
19	18	breq1d 3939	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> 0 <_ C ) )
20	15, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
21		xaddmnf1 9631	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
22	21	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) = -oo ) )
24		simpl3 986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
25		mnfle 9578	. . . . . . . . 9 |- ( C e. RR* -> -oo <_ C )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> -oo <_ C )
27		breq1 3932	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> -oo <_ C ) )
28	26, 27	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
29	23, 28	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A =/= +oo -> ( A +e -oo ) <_ C ) )
30		xrpnfdc 9625	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> DECID A = +oo )
31		dcne 2319	. . . . . . . 8 |- (DECID A = +oo <-> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
32	30, 31	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A = +oo \/ A =/= +oo ) )
34	20, 29, 33	mpjaod 707	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( A +e -oo ) <_ C )
35		pnfge 9575	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ +oo )
37		ge0nemnf 9607	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> C =/= -oo )
38	24, 15, 37	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> C =/= -oo )
39		xaddpnf1 9629	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR* /\ C =/= -oo ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
40	24, 38, 39	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( C +e +oo ) = +oo )
41	36, 40	breqtrrd 3956	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> A <_ ( C +e +oo ) )
42	34, 41	2thd 174	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
43		xnegeq 9610	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> -e B = -e +oo )
44		xnegpnf 9611	. . . . . . . 8 |- -e +oo = -oo
45	43, 44	syl6eq 2188	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> -e B = -oo )
46	45	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( A +e -e B ) = ( A +e -oo ) )
47	46	breq1d 3939	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> ( A +e -oo ) <_ C ) )
48		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( C +e B ) = ( C +e +oo ) )
49	48	breq2d 3941	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ ( C +e B ) <-> A <_ ( C +e +oo ) ) )
50	47, 49	bibi12d 234	. . . 4 |- ( B = +oo -> ( ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) <-> ( ( A +e -oo ) <_ C <-> A <_ ( C +e +oo ) ) ) )
51	42, 50	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B = +oo -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) ) )
52	51	imp 123	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) /\ B = +oo ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )
53		simpr2 988	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> B =/= -oo )
54	2, 53	jca 304	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) )
55		xrnemnf 9564	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) <-> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
56	54, 55	sylib 121	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( B e. RR \/ B = +oo ) )
57	14, 52, 56	mpjaodan 787	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ B =/= -oo /\ 0 <_ C ) ) -> ( ( A +e -e B ) <_ C <-> A <_ ( C +e B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799   <_ cle 7801   -ecxne 9556   +ecxad 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-xneg 9559  df-xadd 9560

This theorem is referenced by:  xmetrtri  12545