ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4fvwrd4 GIF version

Theorem 4fvwrd4 9098
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 107 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2 0nn0 8253 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
3 elnn0uz 8605 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ (ℤ‘0))
42, 3mpbi 137 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
5 3nn0 8256 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
6 elnn0uz 8605 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ‘0))
75, 6mpbi 137 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘0)
8 uzss 8588 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0))
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0)
109sseli 2968 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz 8986 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘0)) → 0 ∈ (0...𝐿))
124, 10, 11sylancr 399 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 0 ∈ (0...𝐿))
1312adantr 265 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 ∈ (0...𝐿))
141, 13ffvelrnd 5330 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
15 risset 2369 . . . . . 6 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎𝑉 𝑎 = (𝑃‘0))
16 eqcom 2058 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = 𝑎)
1716rexbii 2348 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉 𝑎 = (𝑃‘0) ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1815, 17bitri 177 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1914, 18sylib 131 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
20 1eluzge0 8611 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
21 1z 8327 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
22 3z 8330 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
23 1le3 8192 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 3
24 eluz2 8574 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1097 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
26 uzss 8588 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1))
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1)
2827sseli 2968 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘1))
29 eluzfz 8986 . . . . . . . 8 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ (0...𝐿))
3020, 28, 29sylancr 399 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ (0...𝐿))
3130adantr 265 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 ∈ (0...𝐿))
321, 31ffvelrnd 5330 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
33 risset 2369 . . . . . 6 ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏𝑉 𝑏 = (𝑃‘1))
34 eqcom 2058 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) = 𝑏)
3534rexbii 2348 . . . . . 6 (∃𝑏𝑉 𝑏 = (𝑃‘1) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3633, 35bitri 177 . . . . 5 ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3732, 36sylib 131 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3819, 37jca 294 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
39 2eluzge0 8612 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
40 uzuzle23 8608 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘2))
41 eluzfz 8986 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ (0...𝐿))
4239, 40, 41sylancr 399 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ (0...𝐿))
4342adantr 265 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 ∈ (0...𝐿))
441, 43ffvelrnd 5330 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
45 risset 2369 . . . . 5 ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐𝑉 𝑐 = (𝑃‘2))
46 eqcom 2058 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) = 𝑐)
4746rexbii 2348 . . . . 5 (∃𝑐𝑉 𝑐 = (𝑃‘2) ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4845, 47bitri 177 . . . 4 ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4944, 48sylib 131 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
50 eluzfz 8986 . . . . . . 7 ((3 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ∈ (0...𝐿))
517, 50mpan 408 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (0...𝐿))
5251adantr 265 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 ∈ (0...𝐿))
531, 52ffvelrnd 5330 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
54 risset 2369 . . . . 5 ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑𝑉 𝑑 = (𝑃‘3))
55 eqcom 2058 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘3) = 𝑑)
5655rexbii 2348 . . . . 5 (∃𝑑𝑉 𝑑 = (𝑃‘3) ↔ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5754, 56bitri 177 . . . 4 ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5853, 57sylib 131 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5938, 49, 58jca32 297 . 2 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60 r19.42v 2484 . . . . . 6 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
61 r19.42v 2484 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
6261anbi2i 438 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6360, 62bitri 177 . . . . 5 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6463rexbii 2348 . . . 4 (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65642rexbii 2350 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
66 r19.42v 2484 . . . . 5 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
67 r19.41v 2483 . . . . . 6 (∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
6867anbi2i 438 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6966, 68bitri 177 . . . 4 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
70692rexbii 2350 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
71 r19.41v 2483 . . . . . 6 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
72 r19.42v 2484 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
7372anbi1i 439 . . . . . 6 ((∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7471, 73bitri 177 . . . . 5 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7574rexbii 2348 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
76 r19.41v 2483 . . . 4 (∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
77 r19.41v 2483 . . . . 5 (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
7877anbi1i 439 . . . 4 ((∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7975, 76, 783bitri 199 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
8065, 70, 793bitri 199 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
8159, 80sylibr 141 1 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324  wss 2944   class class class wbr 3791  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  0cc0 6946  1c1 6947  cle 7119  2c2 8039  3c3 8040  0cn0 8238  cz 8301  cuz 8568  ...cfz 8975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-fz 8976
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator