ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6p5lem GIF version

Theorem 6p5lem 8495
Description: Lemma for 6p5e11 8498 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
6p5lem.1 𝐴 ∈ ℕ0
6p5lem.2 𝐷 ∈ ℕ0
6p5lem.3 𝐸 ∈ ℕ0
6p5lem.4 𝐵 = (𝐷 + 1)
6p5lem.5 𝐶 = (𝐸 + 1)
6p5lem.6 (𝐴 + 𝐷) = 1𝐸
Assertion
Ref Expression
6p5lem (𝐴 + 𝐵) = 1𝐶

Proof of Theorem 6p5lem
StepHypRef Expression
1 6p5lem.4 . . 3 𝐵 = (𝐷 + 1)
21oveq2i 5550 . 2 (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
3 6p5lem.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 8250 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
5 6p5lem.2 . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
65nn0cni 8250 . . 3 𝐷 ∈ ℂ
7 ax-1cn 7034 . . 3 1 ∈ ℂ
84, 6, 7addassi 7092 . 2 ((𝐴 + 𝐷) + 1) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
9 1nn0 8254 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 6p5lem.3 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
11 6p5lem.5 . . . 4 𝐶 = (𝐸 + 1)
1211eqcomi 2060 . . 3 (𝐸 + 1) = 𝐶
13 6p5lem.6 . . 3 (𝐴 + 𝐷) = 1𝐸
149, 10, 12, 13decsuc 8456 . 2 ((𝐴 + 𝐷) + 1) = 1𝐶
152, 8, 143eqtr2i 2082 1 (𝐴 + 𝐵) = 1𝐶
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  1c1 6947   + caddc 6949  0cn0 8238  cdc 8426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-5 8051  df-6 8052  df-7 8053  df-8 8054  df-9 8055  df-n0 8239  df-dec 8427
This theorem is referenced by:  6p5e11  8498  6p6e12  8499  7p4e11  8501  7p5e12  8502  7p6e13  8503  7p7e14  8504  8p3e11  8506  8p4e12  8507  8p5e13  8508  8p6e14  8509  8p7e15  8510  8p8e16  8511  9p2e11  8512  9p3e12  8513  9p4e13  8514  9p5e14  8515  9p6e15  8516  9p7e16  8517  9p8e17  8518  9p9e18  8519
  Copyright terms: Public domain W3C validator