ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abslt GIF version

Theorem abslt 10175
Description: Absolute value and 'less than' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abslt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem abslt
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21renegcld 7603 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
31recnd 7261 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 abscl 10138 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
53, 4syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 simplr 497 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 leabs 10161 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
82, 7syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9 absneg 10137 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
103, 9syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
118, 10breqtrd 3829 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12 simpr 108 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
132, 5, 6, 11, 12lelttrd 7353 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 < 𝐵)
14 leabs 10161 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
1514ad2antrr 472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
161, 5, 6, 15, 12lelttrd 7353 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
1713, 16jca 300 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
18 simpll 496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 simpl 107 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2019recnd 7261 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2120, 9syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
2219renegcld 7603 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
23 0red 7234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
24 ltabs 10174 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
2519, 23, 24ltled 7347 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
2619le0neg1d 7737 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2725, 26mpbid 145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
28 absid 10158 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
2922, 27, 28syl2anc 403 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
3021, 29eqtr3d 2117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
3118, 30sylan 277 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
32 simplrl 502 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 < 𝐵)
3331, 32eqbrtrd 3825 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
34 simpr 108 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
35 simprr 499 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
36 simplr 497 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3718recnd 7261 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837, 4syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
39 axltwlin 7299 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵)))
4018, 36, 38, 39syl3anc 1170 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵)))
4135, 40mpd 13 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 < (abs‘𝐴) ∨ (abs‘𝐴) < 𝐵))
4233, 34, 41mpjaodan 745 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
4317, 42impbida 561 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)))
44 ltnegcon1 7686 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < 𝐴))
4544anbi1d 453 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
4643, 45bitrd 186 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3805  cfv 4952  cc 7093  cr 7094  0cc0 7095   < clt 7267  cle 7268  -cneg 7399  abscabs 10084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086
This theorem is referenced by:  absdiflt  10179  abslti  10225  absltd  10261
  Copyright terms: Public domain W3C validator