ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltled GIF version

Theorem ltled 7193
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltled (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem ltled
StepHypRef Expression
1 ltled.1 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltle 7163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 397 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
61, 5mpd 13 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409   class class class wbr 3791  cr 6945   < clt 7118  cle 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-lttrn 7055
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-cnv 4380  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124
This theorem is referenced by:  ltnsymd  7194  addgt0d  7585  lt2addd  7631  lt2msq1  7925  lediv12a  7934  ledivp1  7943  nn2ge  8021  fznatpl1  9039  qbtwnzlemex  9206  expnbnd  9539  cvg1nlemres  9811  resqrexlemnm  9844  resqrexlemcvg  9845  resqrexlemglsq  9848  sqrtgt0  9860  leabs  9900  ltabs  9913  abslt  9914  absle  9915  dvdslelemd  10154  divalglemnn  10229  divalglemeuneg  10234
  Copyright terms: Public domain W3C validator