ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  aptipr GIF version

Theorem aptipr 6963
Description: Apartness of positive reals is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
aptipr ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem aptipr
StepHypRef Expression
1 simp1 939 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐴P)
2 simp2 940 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐵P)
3 ioran 702 . . . . . . 7 (¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴) ↔ (¬ 𝐴<P 𝐵 ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴))
43biimpi 118 . . . . . 6 (¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴) → (¬ 𝐴<P 𝐵 ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴))
543ad2ant3 962 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (¬ 𝐴<P 𝐵 ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴))
65simprd 112 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → ¬ 𝐵<P 𝐴)
7 aptiprleml 6961 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴) → (1st𝐴) ⊆ (1st𝐵))
81, 2, 6, 7syl3anc 1170 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (1st𝐴) ⊆ (1st𝐵))
95simpld 110 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → ¬ 𝐴<P 𝐵)
10 aptiprleml 6961 . . . 4 ((𝐵P𝐴P ∧ ¬ 𝐴<P 𝐵) → (1st𝐵) ⊆ (1st𝐴))
112, 1, 9, 10syl3anc 1170 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (1st𝐵) ⊆ (1st𝐴))
128, 11eqssd 3025 . 2 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (1st𝐴) = (1st𝐵))
13 aptiprlemu 6962 . . . 4 ((𝐵P𝐴P ∧ ¬ 𝐴<P 𝐵) → (2nd𝐴) ⊆ (2nd𝐵))
142, 1, 9, 13syl3anc 1170 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (2nd𝐴) ⊆ (2nd𝐵))
15 aptiprlemu 6962 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴) → (2nd𝐵) ⊆ (2nd𝐴))
161, 2, 6, 15syl3anc 1170 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (2nd𝐵) ⊆ (2nd𝐴))
1714, 16eqssd 3025 . 2 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (2nd𝐴) = (2nd𝐵))
18 preqlu 6794 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((1st𝐴) = (1st𝐵) ∧ (2nd𝐴) = (2nd𝐵))))
19183adant3 959 . 2 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((1st𝐴) = (1st𝐵) ∧ (2nd𝐴) = (2nd𝐵))))
2012, 17, 19mpbir2and 886 1 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2982   class class class wbr 3805  cfv 4952  1st c1st 5817  2nd c2nd 5818  Pcnp 6613  <P cltp 6617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-irdg 6040  df-1o 6086  df-2o 6087  df-oadd 6090  df-omul 6091  df-er 6194  df-ec 6196  df-qs 6200  df-ni 6626  df-pli 6627  df-mi 6628  df-lti 6629  df-plpq 6666  df-mpq 6667  df-enq 6669  df-nqqs 6670  df-plqqs 6671  df-mqqs 6672  df-1nqqs 6673  df-rq 6674  df-ltnqqs 6675  df-enq0 6746  df-nq0 6747  df-0nq0 6748  df-plq0 6749  df-mq0 6750  df-inp 6788  df-iltp 6792
This theorem is referenced by:  aptisr  7087
  Copyright terms: Public domain W3C validator