Theorem climub 11120

Description: The limit of a monotonic sequence is an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climub.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climub.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climub.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climub.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climub	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climub

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		climub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		clim2iser.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9342	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
8	7	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
9	8	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)))
10		climub.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
12	9, 11	vtoclga 2752	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
13	2, 12	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14		climub.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
15	3	uztrn2 9350	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
16	2, 15	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
17		fveq2 5421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
18	17	eleq1d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
19	18	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
20	19, 11	vtoclga 2752	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
21	20	impcom 124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
22	16, 21	syldan 280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
23		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
24		elfzuz 9809	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25	3	uztrn2 9350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
26	2, 25	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26, 10	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
28	24, 27	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantlr 468	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
30		elfzuz 9809	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
31		climub.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
32	26, 31	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
33	30, 32	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
34	33	adantlr 468	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
35	23, 29, 34	monoord 10256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑗))
36	1, 6, 13, 14, 22, 35	climlec2 11117	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7626  1c1 7628   + caddc 7630   ≤ cle 7808   − cmin 7940  ℤcz 9061  ℤ_≥cuz 9333  ...cfz 9797   ⇝ cli 11054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-fz 9798  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055

This theorem is referenced by:  climserle  11121