ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalgb GIF version

Theorem divalgb 10469
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 10468 in terms of . (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 zsubcl 8473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑁𝑟) ∈ ℤ)
2 divides 10342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑟) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
31, 2sylan2 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
433impb 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
543com12 1143 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
6 zcn 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 zcn 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℂ)
8 zmulcl 8485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
98zcnd 8551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
10 subadd 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
116, 7, 9, 10syl3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
12 addcom 7312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
137, 9, 12syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
14133adant1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
1514eqeq1d 2090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
1611, 15bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
17 eqcom 2084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟))
18 eqcom 2084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
1916, 17, 183bitr3g 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
20193expia 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
2120expcomd 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))))
22213impia 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
2322imp 122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2423rexbidva 2366 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
25243com23 1145 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
265, 25bitrd 186 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2726anbi2d 452 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
28 df-3an 922 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2928rexbii 2374 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
30 r19.42v 2512 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3129, 30bitri 182 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3227, 31syl6rbbr 197 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
33 anass 393 . . . . . 6 (((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
3432, 33syl6bb 194 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
35343expa 1139 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
3635reubidva 2537 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
37 elnn0z 8445 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
3837anbi1i 446 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
39 anass 393 . . . . . 6 (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4038, 39bitri 182 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4140eubii 1951 . . . 4 (∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
42 df-reu 2356 . . . 4 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
43 df-reu 2356 . . . 4 (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4441, 42, 433bitr4ri 211 . . 3 (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
4536, 44syl6bb 194 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
46453adant3 959 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  ∃!weu 1942  wne 2246  wrex 2350  ∃!wreu 2351   class class class wbr 3793  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  0cc0 7043   + caddc 7046   · cmul 7048   < clt 7215  cle 7216  cmin 7346  0cn0 8355  cz 8432  abscabs 10021  cdvds 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-dvds 10341
This theorem is referenced by:  divalg2  10470
  Copyright terms: Public domain W3C validator