ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0z GIF version

Theorem elnn0z 8285
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 nn0re 8218 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 elnn0 8211 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32biimpi 117 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
43orcomd 656 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
5 3mix1 1082 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
6 3mix2 1083 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
75, 6jaoi 644 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
84, 7syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9 elz 8274 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
101, 8, 9sylanbrc 402 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
11 nn0ge0 8234 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
1210, 11jca 294 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
139simprbi 264 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
1413adantr 265 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
15 0nn0 8224 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
16 eleq1 2114 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
1715, 16mpbiri 161 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
1817a1i 9 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19 nnnn0 8216 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2019a1i 9 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
21 simpr 107 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
22 0red 7056 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
23 zre 8276 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2423adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2522, 24lenltd 7163 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
2621, 25mpbid 139 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < 0)
27 nngt0 7985 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
2824lt0neg1d 7551 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
2927, 28syl5ibr 149 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
3026, 29mtod 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
3130pm2.21d 557 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
3218, 20, 313jaod 1208 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0))
3314, 32mpd 13 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3412, 33impbii 121 1 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 637  w3o 893   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  cr 6916  0cc0 6917   < clt 7089  cle 7090  -cneg 7216  cn 7960  0cn0 8209  cz 8272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273
This theorem is referenced by:  nn0zrab  8297  znn0sub  8337  nn0ind  8381  fnn0ind  8383  fznn0  9046  elfz0ubfz0  9054  elfz0fzfz0  9055  fz0fzelfz0  9056  elfzmlbp  9062  difelfzle  9064  difelfznle  9065  elfzo0z  9112  fzofzim  9116  ubmelm1fzo  9154  flqge0nn0  9208  zmodcl  9259  modqmuladdnn0  9283  modsumfzodifsn  9311  zsqcl2  9462  nn0abscl  9875  oexpneg  10151  oddnn02np1  10155  evennn02n  10157  nn0ehalf  10178  nn0oddm1d2  10184  ialgcvga  10216
  Copyright terms: Public domain W3C validator