ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elixx3g GIF version

Theorem elixx3g 9052
Description: Membership in a set of open intervals of extended reals. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝐴 ∈ ℝ* and 𝐵 ∈ ℝ*. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixxssxr.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
elixx3g (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx3g
StepHypRef Expression
1 anass 393 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))))
2 df-3an 922 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
32anbi1i 446 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
4 ixxssxr.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
54elmpt2cl 5749 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
64elixx1 9048 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
7 3anass 924 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
86, 7syl6bb 194 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))))
95, 8biadan2 444 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))))
101, 3, 93bitr4ri 211 1 (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  {crab 2357   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cmpt2 5565  *cxr 7266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271
This theorem is referenced by:  ixxss1  9055  ixxss2  9056  ixxss12  9057  elioo3g  9061  iccss2  9095  iccssico2  9098
  Copyright terms: Public domain W3C validator