ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elixx1 GIF version

Theorem elixx1 8867
Description: Membership in an interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
elixx1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx1
StepHypRef Expression
1 ixx.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21ixxval 8866 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
32eleq2d 2123 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)}))
4 breq2 3796 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → (𝐴𝑅𝑧𝐴𝑅𝐶))
5 breq1 3795 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝑆𝐵𝐶𝑆𝐵))
64, 5anbi12d 450 . . . 4 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
76elrab 2721 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
8 3anass 900 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
97, 8bitr4i 180 . 2 (𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))
103, 9syl6bb 189 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  {crab 2327   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cmpt2 5542  *cxr 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123
This theorem is referenced by:  elixx3g  8871  ixxssixx  8872  ixxdisj  8873  ixxss1  8874  ixxss2  8875  ixxss12  8876  elioo1  8881  elioc1  8892  elico1  8893  elicc1  8894
  Copyright terms: Public domain W3C validator