Theorem ennnfonelemss 11923

Description: Lemma for ennnfone 11938. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemss.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 11919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
10	9	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
11		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
12	11	iftrued 3481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = (𝐻‘𝑃))
13	10, 12	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻‘𝑃))
14		eqimss2 3152	. . 3 ⊢ ((𝐻‘(𝑃 + 1)) = (𝐻‘𝑃) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
15	13, 14	syl 14	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
16		ssun1 3239	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑃) ⊆ ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})
17	9	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})))
18		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
19	18	iffalsed 3484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)), (𝐻‘𝑃), ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩})) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
20	17, 19	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻‘𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑃), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃))⟩}))
21	16, 20	sseqtrrid 3148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))
22	5	frechashgf1o 10201	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
23		f1ocnv 5380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
24		f1of 5367	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁:ℕ0⟶ω
26	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
27	26, 8	ffvelrnd 5556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑁‘𝑃) ∈ ω)
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 11912	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)))
29		exmiddc 821	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))))
30	28, 29	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑃)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑃))))
31	15, 21, 30	mpjaodan 787	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑃 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∪ cun 3069   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  ifcif 3474  {csn 3527  ⟨cop 3530   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ^◡ccnv 4538  dom cdm 4539   “ cima 4542  ⟶wf 5119  –onto→wfo 5121  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  freccfrec 6287   ↑_pm cpm 6543  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   − cmin 7933  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  11924