Theorem ennnfoneleminc 11924

Description: Lemma for ennnfone 11938. We only add elements to 𝐻 as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfoneleminc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
ennnfoneleminc.le	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑛,𝐹,𝑗,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9171	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9171	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑄)
6	2, 4, 5	3jca 1161	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄))
7		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
8	7	sseq2d 3127	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
9	8	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))))
10		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑟))
11	10	sseq2d 3127	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)))
12	11	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))))
13		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑟 + 1)))
14	13	sseq2d 3127	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑟 + 1) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
16		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑄))
17	16	sseq2d 3127	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤) ↔ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
18	17	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑄 → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))))
19		ssidd 3118	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃))
20	19	a1d 22	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑃)))
21		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23	22	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
25	24	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
27	26	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
28		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑐))
29	28	neeq2d 2327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐)))
30	29	cbvralv 2654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
31	30	rexbii 2442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐))
32		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑏))
33	32	neeq1d 2326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
34	33	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
35	34	cbvrexv 2655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
36	31, 35	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
37	36	ralbii 2441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
38		suceq 4324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → suc 𝑛 = suc 𝑎)
39	38	raleqdv 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
40	39	rexbidv 2438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐)))
41	40	cbvralv 2654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
42	37, 41	bitri 183	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
43	27, 42	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ suc 𝑎(𝐹‘𝑏) ≠ (𝐹‘𝑐))
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
48		simplr2 1024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℤ)
49		0red 7767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ∈ ℝ)
50	1	nn0red 9031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ∈ ℝ)
52	48	zred 9173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
53	1	nn0ge0d 9033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
54	53	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑃)
55		simplr3 1025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑃 ≤ 𝑟)
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
57		elnn0z 9067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
58	48, 56, 57	sylanbrc 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 11923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑟) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
60	21, 59	sstrd 3107	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) ∧ (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))
61	60	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟)) → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1))))
62	61	expcom 115	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → (𝜑 → ((𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟) → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
63	62	a2d 26	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑟) → ((𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑟)) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘(𝑟 + 1)))))
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9162	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≤ 𝑄) → (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄)))
65	6, 64	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑃) ⊆ (𝐻‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 819   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∪ cun 3069   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  ifcif 3474  {csn 3527  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ^◡ccnv 4538  dom cdm 4539   “ cima 4542  –onto→wfo 5121  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  freccfrec 6287   ↑_pm cpm 6543  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemrnh  11929