ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiunsnnn GIF version

Theorem fiunsnnn 6369
Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fiunsnnn (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)

Proof of Theorem fiunsnnn
StepHypRef Expression
1 simprr 492 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → 𝐴𝑁)
2 en2sn 6321 . . . 4 ((𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑁})
32ad2ant2lr 487 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → {𝐵} ≈ {𝑁})
4 simplr 490 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴))
54eldifbd 2958 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → ¬ 𝐵𝐴)
6 disjsn 3460 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
75, 6sylibr 141 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
8 elirr 4294 . . . . 5 ¬ 𝑁𝑁
9 disjsn 3460 . . . . 5 ((𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁𝑁)
108, 9mpbir 138 . . . 4 (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅
1110a1i 9 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)
12 unen 6324 . . 3 (((𝐴𝑁 ∧ {𝐵} ≈ {𝑁}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑁 ∩ {𝑁}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
131, 3, 7, 11, 12syl22anc 1147 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑁 ∪ {𝑁}))
14 df-suc 4136 . 2 suc 𝑁 = (𝑁 ∪ {𝑁})
1513, 14syl6breqr 3832 1 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ ω ∧ 𝐴𝑁)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  cdif 2942  cun 2943  cin 2944  c0 3252  {csn 3403   class class class wbr 3792  suc csuc 4130  ωcom 4341  cen 6250  Fincfn 6252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-suc 4136  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-1o 6032  df-er 6137  df-en 6253
This theorem is referenced by:  php5fin  6370
  Copyright terms: Public domain W3C validator