ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqmulnn0 GIF version

Theorem flqmulnn0 9214
Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqmulnn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem flqmulnn0
StepHypRef Expression
1 flqcl 9190 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21adantl 266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
32zred 8389 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4 qre 8627 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
54adantl 266 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpl 106 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
76nn0red 8263 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℝ)
86nn0ge0d 8265 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝑁)
9 flqle 9193 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
109adantl 266 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
113, 5, 7, 8, 10lemul2ad 7951 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴))
12 nn0z 8292 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13 zq 8628 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
1412, 13syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℚ)
15 qmulcl 8639 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
1614, 15sylan 271 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
17 zmulcl 8325 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
1812, 1, 17syl2an 277 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
19 flqge 9197 . . 3 (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
2016, 18, 19syl2anc 397 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
2111, 20mpbid 139 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1407   class class class wbr 3789  cfv 4927  (class class class)co 5537  cr 6916   · cmul 6922  cle 7090  0cn0 8209  cz 8272  cq 8621  cfl 9185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-mulrcl 7011  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-mulass 7015  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-1rid 7019  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-precex 7022  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028  ax-pre-mulgt0 7029  ax-pre-mulext 7030  ax-arch 7031
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rmo 2329  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-reap 7610  df-ap 7617  df-div 7696  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273  df-q 8622  df-rp 8652  df-fl 9187
This theorem is referenced by:  modqmulnn  9257
  Copyright terms: Public domain W3C validator