ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsplit2 GIF version

Theorem fzsplit2 9015
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 8991 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 eluzel2 8573 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
32adantl 266 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 zlelttric 8346 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
51, 3, 4syl2anr 278 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
6 elfzuz 8987 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
7 elfz5 8983 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
86, 3, 7syl2anr 278 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
9 simpl 106 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzelz 8577 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
12 eluz 8581 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
1311, 1, 12syl2an 277 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
14 elfzuz3 8988 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
1514adantl 266 . . . . . . . 8 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
16 elfzuzb 8985 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
1716rbaib 841 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑥) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
1815, 17syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
19 zltp1le 8355 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
203, 1, 19syl2an 277 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
2113, 18, 203bitr4d 213 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑥))
228, 21orbi12d 717 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥)))
235, 22mpbird 160 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
24 elfzuz 8987 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2524adantl 266 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
26 simpr 107 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
27 elfzuz3 8988 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑥))
28 uztrn 8584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
2926, 27, 28syl2an 277 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
30 elfzuzb 8985 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
3125, 29, 30sylanbrc 402 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
32 elfzuz 8987 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
33 uztrn 8584 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3432, 9, 33syl2anr 278 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
35 elfzuz3 8988 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3635adantl 266 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3734, 36, 30sylanbrc 402 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3831, 37jaodan 721 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3923, 38impbida 538 . . 3 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
40 elun 3111 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
4139, 40syl6bbr 191 . 2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
4241eqrdv 2054 1 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409  cun 2942   class class class wbr 3791  cfv 4929  (class class class)co 5539  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cle 7119  cz 8301  cuz 8568  ...cfz 8975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-fz 8976
This theorem is referenced by:  fzsplit  9016  fzpred  9033
  Copyright terms: Public domain W3C validator