ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzel2 GIF version

Theorem eluzel2 8574
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 uzf 8572 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 frel 5077 . . . 4 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ)
31, 2ax-mp 7 . . 3 Rel ℤ
4 relelfvdm 5233 . . 3 ((Rel ℤ𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ)
53, 4mpan 408 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ)
61fdmi 5079 . 2 dom ℤ = ℤ
75, 6syl6eleq 2146 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  𝒫 cpw 3387  dom cdm 4373  Rel wrel 4378  wf 4926  cfv 4930  cz 8302  cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-ov 5543  df-neg 7248  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  eluz2  8575  uztrn  8585  uzneg  8587  uzss  8589  uz11  8591  eluzadd  8597  uzm1  8599  uzin  8601  uzind4  8627  elfz5  8984  elfzel1  8991  eluzfz1  8997  fzsplit2  9016  fzopth  9026  fzpred  9034  fzpreddisj  9035  fzdifsuc  9045  uzsplit  9056  uzdisj  9057  elfzp12  9063  fzm1  9064  uznfz  9067  nn0disj  9097  fzolb  9111  fzoss2  9130  fzouzdisj  9138  ige2m2fzo  9156  elfzonelfzo  9188  frec2uzrand  9355  frecfzen2  9368  iseqcl  9387  iseqp1  9389  iseqfeq2  9393  iseqfveq  9394  iseqshft2  9396  iseqsplit  9402  iseqcaopr3  9404  iseqid3s  9410  iseqid  9411  iseqhomo  9412  iseqz  9413  serige0  9417  serile  9418  leexp2a  9473  rexanuz2  9818  cau4  9943  clim2iser  10088  clim2iser2  10089  climserile  10096
  Copyright terms: Public domain W3C validator