Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdzeq GIF version

Theorem gcdzeq 10602
 Description: A positive integer 𝐴 is equal to its gcd with an integer 𝐵 if and only if 𝐴 divides 𝐵. Generalization of gcdeq 10603. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gcdzeq ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴𝐴𝐵))

Proof of Theorem gcdzeq
StepHypRef Expression
1 nnz 8487 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2 gcddvds 10546 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
31, 2sylan 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
43simprd 112 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
5 breq1 3809 . . 3 ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵𝐴𝐵))
64, 5syl5ibcom 153 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴𝐴𝐵))
71adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 iddvds 10400 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴𝐴)
97, 8syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴𝐴)
10 simpr 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 nnne0 8170 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
12 simpl 107 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
1312necon3ai 2298 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1411, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1514adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16 dvdslegcd 10547 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
177, 7, 10, 15, 16syl31anc 1173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
189, 17mpand 420 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
193simpld 110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
20 gcdcl 10549 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
211, 20sylan 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 8584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
23 simpl 107 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
24 dvdsle 10436 . . . . . 6 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
2522, 23, 24syl2anc 403 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
2619, 25mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴)
2718, 26jctild 309 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
2821nn0red 8445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
29 nnre 8149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
3029adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3128, 30letri3d 7329 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
3227, 31sylibrd 167 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴))
336, 32impbid 127 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2249   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564  ℝcr 7078  0cc0 7079   ≤ cle 7252  ℕcn 8142  ℕ0cn0 8391  ℤcz 8468   ∥ cdvds 10387   gcd cgcd 10529 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sup 6492  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-fz 9142  df-fzo 9266  df-fl 9388  df-mod 9441  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-dvds 10388  df-gcd 10530 This theorem is referenced by:  gcdeq  10603  isevengcd2  10728
 Copyright terms: Public domain W3C validator