Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iinerm GIF version

Theorem iinerm 6114
 Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iinerm ((y y A x A 𝑅 Er B) → x A 𝑅 Er B)
Distinct variable groups:   x,A   x,B   y,A
Allowed substitution hints:   B(y)   𝑅(x,y)

Proof of Theorem iinerm
Dummy variables u 𝑎 v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2097 . . . 4 (x = 𝑎 → (x A𝑎 A))
21cbvexv 1792 . . 3 (x x A𝑎 𝑎 A)
3 eleq1 2097 . . . 4 (𝑎 = y → (𝑎 Ay A))
43cbvexv 1792 . . 3 (𝑎 𝑎 Ay y A)
52, 4bitri 173 . 2 (x x Ay y A)
6 r19.2m 3303 . . . . 5 ((x x A x A 𝑅 Er B) → x A 𝑅 Er B)
7 errel 6051 . . . . . . 7 (𝑅 Er B → Rel 𝑅)
8 df-rel 4295 . . . . . . 7 (Rel 𝑅𝑅 ⊆ (V × V))
97, 8sylib 127 . . . . . 6 (𝑅 Er B𝑅 ⊆ (V × V))
109reximi 2410 . . . . 5 (x A 𝑅 Er Bx A 𝑅 ⊆ (V × V))
11 iinss 3699 . . . . 5 (x A 𝑅 ⊆ (V × V) → x A 𝑅 ⊆ (V × V))
126, 10, 113syl 17 . . . 4 ((x x A x A 𝑅 Er B) → x A 𝑅 ⊆ (V × V))
13 df-rel 4295 . . . 4 (Rel x A 𝑅 x A 𝑅 ⊆ (V × V))
1412, 13sylibr 137 . . 3 ((x x A x A 𝑅 Er B) → Rel x A 𝑅)
15 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Er B𝑅 Er B)
1615ersymb 6056 . . . . . . . . 9 (𝑅 Er B → (u𝑅vv𝑅u))
1716biimpd 132 . . . . . . . 8 (𝑅 Er B → (u𝑅vv𝑅u))
18 df-br 3756 . . . . . . . 8 (u𝑅v ↔ ⟨u, v 𝑅)
19 df-br 3756 . . . . . . . 8 (v𝑅u ↔ ⟨v, u 𝑅)
2017, 18, 193imtr3g 193 . . . . . . 7 (𝑅 Er B → (⟨u, v 𝑅 → ⟨v, u 𝑅))
2120ral2imi 2379 . . . . . 6 (x A 𝑅 Er B → (x Au, v 𝑅x Av, u 𝑅))
2221adantl 262 . . . . 5 ((x x A x A 𝑅 Er B) → (x Au, v 𝑅x Av, u 𝑅))
23 df-br 3756 . . . . . 6 (u x A 𝑅v ↔ ⟨u, v x A 𝑅)
24 vex 2554 . . . . . . . 8 u V
25 vex 2554 . . . . . . . 8 v V
2624, 25opex 3957 . . . . . . 7 u, v V
27 eliin 3653 . . . . . . 7 (⟨u, v V → (⟨u, v x A 𝑅x Au, v 𝑅))
2826, 27ax-mp 7 . . . . . 6 (⟨u, v x A 𝑅x Au, v 𝑅)
2923, 28bitri 173 . . . . 5 (u x A 𝑅vx Au, v 𝑅)
30 df-br 3756 . . . . . 6 (v x A 𝑅u ↔ ⟨v, u x A 𝑅)
3125, 24opex 3957 . . . . . . 7 v, u V
32 eliin 3653 . . . . . . 7 (⟨v, u V → (⟨v, u x A 𝑅x Av, u 𝑅))
3331, 32ax-mp 7 . . . . . 6 (⟨v, u x A 𝑅x Av, u 𝑅)
3430, 33bitri 173 . . . . 5 (v x A 𝑅ux Av, u 𝑅)
3522, 29, 343imtr4g 194 . . . 4 ((x x A x A 𝑅 Er B) → (u x A 𝑅vv x A 𝑅u))
3635imp 115 . . 3 (((x x A x A 𝑅 Er B) u x A 𝑅v) → v x A 𝑅u)
37 r19.26 2435 . . . . . 6 (x A (⟨u, v 𝑅 v, w 𝑅) ↔ (x Au, v 𝑅 x Av, w 𝑅))
3815ertr 6057 . . . . . . . . 9 (𝑅 Er B → ((u𝑅v v𝑅w) → u𝑅w))
39 df-br 3756 . . . . . . . . . 10 (v𝑅w ↔ ⟨v, w 𝑅)
4018, 39anbi12i 433 . . . . . . . . 9 ((u𝑅v v𝑅w) ↔ (⟨u, v 𝑅 v, w 𝑅))
41 df-br 3756 . . . . . . . . 9 (u𝑅w ↔ ⟨u, w 𝑅)
4238, 40, 413imtr3g 193 . . . . . . . 8 (𝑅 Er B → ((⟨u, v 𝑅 v, w 𝑅) → ⟨u, w 𝑅))
4342ral2imi 2379 . . . . . . 7 (x A 𝑅 Er B → (x A (⟨u, v 𝑅 v, w 𝑅) → x Au, w 𝑅))
4443adantl 262 . . . . . 6 ((x x A x A 𝑅 Er B) → (x A (⟨u, v 𝑅 v, w 𝑅) → x Au, w 𝑅))
4537, 44syl5bir 142 . . . . 5 ((x x A x A 𝑅 Er B) → ((x Au, v 𝑅 x Av, w 𝑅) → x Au, w 𝑅))
46 df-br 3756 . . . . . . 7 (v x A 𝑅w ↔ ⟨v, w x A 𝑅)
47 vex 2554 . . . . . . . . 9 w V
4825, 47opex 3957 . . . . . . . 8 v, w V
49 eliin 3653 . . . . . . . 8 (⟨v, w V → (⟨v, w x A 𝑅x Av, w 𝑅))
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . 7 (⟨v, w x A 𝑅x Av, w 𝑅)
5146, 50bitri 173 . . . . . 6 (v x A 𝑅wx Av, w 𝑅)
5229, 51anbi12i 433 . . . . 5 ((u x A 𝑅v v x A 𝑅w) ↔ (x Au, v 𝑅 x Av, w 𝑅))
53 df-br 3756 . . . . . 6 (u x A 𝑅w ↔ ⟨u, w x A 𝑅)
5424, 47opex 3957 . . . . . . 7 u, w V
55 eliin 3653 . . . . . . 7 (⟨u, w V → (⟨u, w x A 𝑅x Au, w 𝑅))
5654, 55ax-mp 7 . . . . . 6 (⟨u, w x A 𝑅x Au, w 𝑅)
5753, 56bitri 173 . . . . 5 (u x A 𝑅wx Au, w 𝑅)
5845, 52, 573imtr4g 194 . . . 4 ((x x A x A 𝑅 Er B) → ((u x A 𝑅v v x A 𝑅w) → u x A 𝑅w))
5958imp 115 . . 3 (((x x A x A 𝑅 Er B) (u x A 𝑅v v x A 𝑅w)) → u x A 𝑅w)
60 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Er B u B) → 𝑅 Er B)
61 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Er B u B) → u B)
6260, 61erref 6062 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Er B u B) → u𝑅u)
63 df-br 3756 . . . . . . . . . 10 (u𝑅u ↔ ⟨u, u 𝑅)
6462, 63sylib 127 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Er B u B) → ⟨u, u 𝑅)
6564expcom 109 . . . . . . . 8 (u B → (𝑅 Er B → ⟨u, u 𝑅))
6665ralimdv 2382 . . . . . . 7 (u B → (x A 𝑅 Er Bx Au, u 𝑅))
6766com12 27 . . . . . 6 (x A 𝑅 Er B → (u Bx Au, u 𝑅))
6867adantl 262 . . . . 5 ((x x A x A 𝑅 Er B) → (u Bx Au, u 𝑅))
69 r19.26 2435 . . . . . . 7 (x A (𝑅 Er B u, u 𝑅) ↔ (x A 𝑅 Er B x Au, u 𝑅))
70 r19.2m 3303 . . . . . . . . 9 ((x x A x A (𝑅 Er B u, u 𝑅)) → x A (𝑅 Er B u, u 𝑅))
7124, 24opeldm 4481 . . . . . . . . . . 11 (⟨u, u 𝑅u dom 𝑅)
72 erdm 6052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 Er B → dom 𝑅 = B)
7372eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Er B → (u dom 𝑅u B))
7473biimpa 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Er B u dom 𝑅) → u B)
7571, 74sylan2 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Er B u, u 𝑅) → u B)
7675rexlimivw 2423 . . . . . . . . 9 (x A (𝑅 Er B u, u 𝑅) → u B)
7770, 76syl 14 . . . . . . . 8 ((x x A x A (𝑅 Er B u, u 𝑅)) → u B)
7877ex 108 . . . . . . 7 (x x A → (x A (𝑅 Er B u, u 𝑅) → u B))
7969, 78syl5bir 142 . . . . . 6 (x x A → ((x A 𝑅 Er B x Au, u 𝑅) → u B))
8079expdimp 246 . . . . 5 ((x x A x A 𝑅 Er B) → (x Au, u 𝑅u B))
8168, 80impbid 120 . . . 4 ((x x A x A 𝑅 Er B) → (u Bx Au, u 𝑅))
82 df-br 3756 . . . . 5 (u x A 𝑅u ↔ ⟨u, u x A 𝑅)
8324, 24opex 3957 . . . . . 6 u, u V
84 eliin 3653 . . . . . 6 (⟨u, u V → (⟨u, u x A 𝑅x Au, u 𝑅))
8583, 84ax-mp 7 . . . . 5 (⟨u, u x A 𝑅x Au, u 𝑅)
8682, 85bitri 173 . . . 4 (u x A 𝑅ux Au, u 𝑅)
8781, 86syl6bbr 187 . . 3 ((x x A x A 𝑅 Er B) → (u Bu x A 𝑅u))
8814, 36, 59, 87iserd 6068 . 2 ((x x A x A 𝑅 Er B) → x A 𝑅 Er B)
895, 88sylanbr 269 1 ((y y A x A 𝑅 Er B) → x A 𝑅 Er B)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370  ∩ ciin 3649   class class class wbr 3755   × cxp 4286  dom cdm 4288  Rel wrel 4293   Er wer 6039 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iin 3651  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-er 6042 This theorem is referenced by:  riinerm  6115
 Copyright terms: Public domain W3C validator