ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmid GIF version

Theorem lcmid 10687
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 lcm0val 10672 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
21adantr 270 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 0) = 0)
3 oveq2 5572 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
4 fveq2 5230 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
5 abs0 10163 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
64, 5syl6eq 2131 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
73, 6eqeq12d 2097 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
87adantl 271 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
92, 8mpbird 165 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
10 df-ne 2250 . . 3 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
11 lcmcl 10679 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 8480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1312anidms 389 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1413adantr 270 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
15 zabscl 10191 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
1615zcnd 8621 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
1716adantr 270 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
18 zcn 8507 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1918adantr 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
20 simpr 108 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
2119, 20absne0d 10292 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
22 0zd 8514 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 0 ∈ ℤ)
23 zapne 8573 . . . . . 6 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2415, 22, 23syl2an2r 560 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2521, 24mpbird 165 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) # 0)
26 lcmgcd 10685 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
2726anidms 389 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
28 gcdid 10602 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2928oveq2d 5580 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
3018, 18absmuld 10299 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3127, 29, 303eqtr3d 2123 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3231adantr 270 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3314, 17, 17, 25, 32mulcanap2ad 7891 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
3410, 33sylan2br 282 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
35 0z 8513 . . . 4 0 ∈ ℤ
36 zdceq 8574 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
3735, 36mpan2 416 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
38 exmiddc 778 . . 3 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
3937, 38syl 14 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
409, 34, 39mpjaodan 745 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5564  cc 7111  0cc0 7113   · cmul 7118   # cap 7818  cz 8502  abscabs 10102   gcd cgcd 10563   lcm clcm 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sup 6492  df-inf 6493  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fz 9176  df-fzo 9300  df-fl 9422  df-mod 9475  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104  df-dvds 10422  df-gcd 10564  df-lcm 10668
This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  10690
  Copyright terms: Public domain W3C validator