Theorem lemul1 7377

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul1	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A ≤ B ↔ (A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶)))

Proof of Theorem lemul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1 7376	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (B < A ↔ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
2	1	notbid 591	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (¬ B < A ↔ ¬ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
3	2	3com12 1107	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (¬ B < A ↔ ¬ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
4		lenlt 6891	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A ≤ B ↔ ¬ B < A))
5	4	3adant3 923	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A ≤ B ↔ ¬ B < A))
6		simp1 903	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → A ∈ ℝ)
7		simp3l 931	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 6853	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A · 𝐶) ∈ ℝ)
9		simp2 904	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → B ∈ ℝ)
10	9, 7	remulcld 6853	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (B · 𝐶) ∈ ℝ)
11	8, 10	lenltd 6931	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶) ↔ ¬ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
12	3, 5, 11	3bitr4d 209	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (A ≤ B ↔ (A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711   · cmul 6716   < clt 6857   ≤ cle 6858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982

This theorem is referenced by:  lemul2  7604  lediv23  7640  lemul1i  7671  lemul1d  8436  iccdil  8636  expgt1  8947