ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facubnd GIF version

Theorem facubnd 10446
Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5389 . . . 4 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2 fac0 10429 . . . 4 (!‘0) = 1
31, 2syl6eq 2166 . . 3 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4 id 19 . . . . 5 (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
54, 4oveq12d 5760 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = (0↑0))
6 0exp0e1 10253 . . . 4 (0↑0) = 1
75, 6syl6eq 2166 . . 3 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = 1)
83, 7breq12d 3912 . 2 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9 fveq2 5389 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10 id 19 . . . 4 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
1110, 10oveq12d 5760 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚𝑚) = (𝑘𝑘))
129, 11breq12d 3912 . 2 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)))
13 fveq2 5389 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14 id 19 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
1514, 14oveq12d 5760 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1613, 15breq12d 3912 . 2 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17 fveq2 5389 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18 id 19 . . . 4 (𝑚 = 𝑁𝑚 = 𝑁)
1918, 18oveq12d 5760 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑚) = (𝑁𝑁))
2017, 19breq12d 3912 . 2 (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
21 1le1 8301 . 2 1 ≤ 1
22 faccl 10436 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2423nnred 8697 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25 nn0re 8944 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
2625adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2826, 27reexpcld 10396 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ∈ ℝ)
29 nn0p1nn 8974 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3029adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3130nnred 8697 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3231, 27reexpcld 10396 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘))
34 nn0ge0 8960 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
3534adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
3626lep1d 8653 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37 leexp1a 10303 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1209 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3924, 28, 32, 33, 38letrd 7854 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
4030nngt0d 8728 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41 lemul1 8322 . . . . . 6 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1205 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4339, 42mpbid 146 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44 facp1 10431 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4544adantr 274 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4630nncnd 8698 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4746, 27expp1d 10380 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
4843, 45, 473brtr4d 3930 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
4948ex 114 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 9123 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cn 8684  0cn0 8935  cexp 10247  !cfa 10426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-fac 10427
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator