ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulneg1d GIF version

Theorem mulneg1d 7406
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulneg1d (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 mulneg1 7390 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 391 1 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1243  wcel 1393  (class class class)co 5512  cc 6885   · cmul 6892  -cneg 7181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7182  df-neg 7183
This theorem is referenced by:  divsubdivap  7702  recgt0  7814  expmulzap  9275  resqrexlemover  9582  resqrexlemcalc1  9586
  Copyright terms: Public domain W3C validator