Theorem oddpwdc 11852

Description: The function 𝐹 that decomposes a number into its "odd" and "even" parts, which is to say the largest power of two and largest odd divisor of a number, is a bijection from pairs of a nonnegative integer and an odd number to positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddpwdc.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
oddpwdc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
oddpwdc	⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem oddpwdc

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
2		2cnd 8793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
3		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4	2, 3	expcld 10424	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℂ)
5		breq2 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8	6, 7	elrab2 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
9	8	simplbi 272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ ℕ)
10	9	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8734	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 7786	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑦) · 𝑥) ∈ ℂ)
13	12	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((2↑𝑦) · 𝑥) ∈ ℂ)
14		nnnn0 8984	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
15		2nn 8881	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		pw2dvdseu 11846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))
17		riotacl 5744	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0)
19		nnexpcl 10306	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ)
20	15, 18, 19	sylancr 410	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ)
21		nn0nndivcl 9039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ) → (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ)
22	14, 20, 21	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ)
23	22, 18	jca 304	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0))
24	23	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0))
25	8	anbi1i 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0))
26	25	anbi1i 453	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)))
27		oddpwdclemdc 11851	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))))
28	26, 27	bitri 183	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))))
29	28	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))))))
30	1, 13, 24, 29	f1od2 6132	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ)
31	30	mptru 1340	1 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ⊤wtru 1332   ∈ wcel 1480  ∃!wreu 2418  {crab 2420   class class class wbr 3929   × cxp 4537  –1-1-onto→wf1o 5122  ℩crio 5729  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  ℂcc 7618  ℝcr 7619  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   / cdiv 8432  ℕcn 8720  2c2 8771  ℕ₀cn0 8977  ↑cexp 10292   ∥ cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  sqpweven  11853  2sqpwodd  11854  xpnnen  11907