Theorem oddpwdc 10696

Description: The function 𝐹 that decomposes a number into its "odd" and "even" parts, which is to say the largest power of two and largest odd divisor of a number, is a bijection from pairs of a nonnegative integer and an odd number to positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddpwdc.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
oddpwdc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
oddpwdc	⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem oddpwdc

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
2		2cnd 8179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
3		simpr 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4	2, 3	expcld 9702	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℂ)
5		breq2 3797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8	6, 7	elrab2 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
9	8	simplbi 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ ℕ)
10	9	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8120	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 7201	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑦) · 𝑥) ∈ ℂ)
13	12	adantl 271	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((2↑𝑦) · 𝑥) ∈ ℂ)
14		nnnn0 8362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
15		2nn 8260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		pw2dvdseu 10690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))
17		riotacl 5513	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0)
19		nnexpcl 9586	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ)
20	15, 18, 19	sylancr 405	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ)
21		nn0nndivcl 8417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ) → (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ)
22	14, 20, 21	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ)
23	22, 18	jca 300	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0))
24	23	adantl 271	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0))
25	8	anbi1i 446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0))
26	25	anbi1i 446	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)))
27		oddpwdclemdc 10695	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))))
28	26, 27	bitri 182	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))))
29	28	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))))))
30	1, 13, 24, 29	f1od2 5887	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ)
31	30	trud 1294	1 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285  ⊤wtru 1286   ∈ wcel 1434  ∃!wreu 2351  {crab 2353   class class class wbr 3793   × cxp 4369  –1-1-onto→wf1o 4931  ℩crio 5498  (class class class)co 5543   ↦ cmpt2 5545  ℂcc 7041  ℝcr 7042  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048   / cdiv 7827  ℕcn 8106  2c2 8156  ℕ₀cn0 8355  ↑cexp 9572   ∥ cdvds 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-rp 8816  df-fz 9106  df-fl 9352  df-mod 9405  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-dvds 10341

This theorem is referenced by:  sqpweven  10697  2sqpwodd  10698  xpnnen  10705