ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovshftex GIF version

Theorem ovshftex 9612
Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ovshftex ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfvalg 9611 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
21ancoms 259 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
3 cnex 7033 . . . 4 ℂ ∈ V
43a1i 9 . . 3 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5 rnexg 4622 . . . . 5 (𝐹𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
65ad2antrr 465 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7 vex 2575 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
8 breq2 3793 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢))
97, 8elab 2707 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢)
10 simpr 107 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11 simpl 106 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 7355 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
13 brelrng 4590 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
147, 13mp3an2 1229 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1512, 14sylan 271 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1615ex 112 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑢𝑢 ∈ ran 𝐹))
179, 16syl5bi 145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
1817ssrdv 2976 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
1918adantll 453 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
206, 19ssexd 3922 . . 3 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
214, 20opabex3d 5773 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
222, 21eqeltrd 2128 1 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1257  wcel 1407  {cab 2040  Vcvv 2572  wss 2942   class class class wbr 3789  {copab 3842  ran crn 4371  (class class class)co 5537  cc 6915  cmin 7215   shift cshi 9607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-sub 7217  df-shft 9608
This theorem is referenced by:  2shfti  9624  climshftlemg  10017  climshft  10019  climshft2  10021
  Copyright terms: Public domain W3C validator