ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovshftex GIF version

Theorem ovshftex 9892
Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ovshftex ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfvalg 9891 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
21ancoms 264 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
3 cnex 7195 . . . 4 ℂ ∈ V
43a1i 9 . . 3 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5 rnexg 4646 . . . . 5 (𝐹𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
65ad2antrr 472 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7 vex 2613 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
8 breq2 3810 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢))
97, 8elab 2747 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢)
10 simpr 108 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11 simpl 107 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 7522 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
13 brelrng 4614 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
147, 13mp3an2 1257 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1512, 14sylan 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1615ex 113 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑢𝑢 ∈ ran 𝐹))
179, 16syl5bi 150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
1817ssrdv 3015 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
1918adantll 460 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
206, 19ssexd 3939 . . 3 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
214, 20opabex3d 5800 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
222, 21eqeltrd 2159 1 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  {cab 2069  Vcvv 2610  wss 2983   class class class wbr 3806  {copab 3859  ran crn 4393  (class class class)co 5564  cc 7077  cmin 7382   shift cshi 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-sub 7384  df-shft 9888
This theorem is referenced by:  2shfti  9904  climshftlemg  10326  climshft  10328  climshft2  10330
  Copyright terms: Public domain W3C validator