Theorem modfsummodlemstep 11226

Description: Induction step for modfsummod 11227. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummodlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
modfsummodlemstep.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
modfsummodlemstep.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
modfsummodlemstep.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
modfsummodlemstep.h	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
modfsummodlemstep	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑘)   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummodlemstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummodlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		vex 2689	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
4		modfsummodlemstep.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
5		df-nel 2404	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∉ 𝐴)
7		modfsummodlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
8		fsumsplitsnun 11188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
9	1, 3, 6, 7, 8	syl121anc 1221	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
10	9	oveq1d 5789	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
11		ralunb 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
12	11	simplbi 272	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
13	7, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
14		fsumzcl2 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
15	1, 13, 14	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
16		zq 9418	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ)
18		modfsummodlem1 11225	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
19	7, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
20		zq 9418	. . . . . 6 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ)
22		modfsummodlemstep.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
23		nnq 9425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
25	22	nngt0d 8764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
26		modqaddabs 10135	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℚ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
27	17, 21, 24, 25, 26	syl22anc 1217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
28	27	eqcomd 2145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
29		modfsummodlemstep.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
30		modqabs2 10131	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
31	21, 24, 25, 30	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
32	31	eqcomd 2145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
33	29, 32	oveq12d 5792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
34	33	oveq1d 5789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
35	28, 34	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
36		zmodcl 10117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 9171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
38	37	expcom 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
39	38	ralimdv 2500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
40	22, 13, 39	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
41		fsumzcl2 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43		zq 9418	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
44	42, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
45	19, 22	zmodcld 10118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
46		nn0z 9074	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
47		zq 9418	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ)
49		modqaddabs 10135	. . . 4 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
50	44, 48, 24, 25, 49	syl22anc 1217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
51	38	ralimdv 2500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
52	22, 7, 51	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
53		fsumsplitsnun 11188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
54	1, 3, 6, 52, 53	syl121anc 1221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
55		csbov1g 5811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
56	55	elv 2690	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
57	56	oveq2i 5785	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
58	54, 57	syl6req 2189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
59	58	oveq1d 5789	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
60	50, 59	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
61	10, 35, 60	3eqtrd 2176	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∉ wnel 2403  ∀wral 2416  Vcvv 2686  ⦋csb 3003   ∪ cun 3069  {csn 3527   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  0cc0 7620   + caddc 7623   < clt 7800  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℚcq 9411   mod cmo 10095  Σcsu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  modfsummod  11227