Theorem nninfsellemdc 13206

Description: Lemma for nninfself 13209. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables 𝑤 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4324	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2	1	raleqdv 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3	2	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
4	3	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
5		suceq 4324	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → suc 𝑤 = suc 𝑗)
6	5	raleqdv 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
7	6	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
8	7	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
9		suceq 4324	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → suc 𝑤 = suc suc 𝑗)
10	9	raleqdv 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
11	10	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
12	11	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
13		suceq 4324	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → suc 𝑤 = suc 𝑁)
14	13	raleqdv 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
15	14	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
16	15	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
17		elmapi 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
18		peano1 4508	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
19		nnnninf 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
21	17, 20	ffvelrnd 5556	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o)
22		2onn 6417	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
23		elnn 4519	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
24	21, 22, 23	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
25		1onn 6416	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
26		nndceq 6395	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
27	24, 25, 26	sylancl 409	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
28		suc0 4333	. . . . . . 7 ⊢ suc ∅ = {∅}
29	28	raleqi 2630	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
30		0ex 4055	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
31		eleq2 2203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
32	31	ifbid 3493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
33	32	mpteq2dv 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
34	33	fveq2d 5425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))))
35	34	eqeq1d 2148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o))
36	30, 35	ralsn 3567	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
37	29, 36	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
38	37	dcbii 825	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
39	27, 38	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
40	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
41		peano2 4509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
42	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → suc 𝑗 ∈ ω)
43		nnnninf 7023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
45	40, 44	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o)
46		elnn 4519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
47	45, 22, 46	sylancl 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
48		nndceq 6395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
49	47, 25, 48	sylancl 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
50		eleq2 2203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ suc 𝑗))
51	50	ifbid 3493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))
52	51	mpteq2dv 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)))
53	52	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))))
54	53	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
55	54	ralsng 3564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
57	56	dcbid 823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
58	49, 57	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
59		dcan 918	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
60	58, 59	mpan9 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
61		ralunb 3257	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
62	61	dcbii 825	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
63	60, 62	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
64		df-suc 4293	. . . . . . . 8 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
65	64	raleqi 2630	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
66	65	dcbii 825	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
67	63, 66	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
68	67	exp31 361	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
69	68	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ω → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4514	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
71	70	impcom 124	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   ∪ cun 3069  ∅c0 3363  ifcif 3474  {csn 3527   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  1_oc1o 6306  2_oc2o 6307   ↑_𝑚 cmap 6542  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  13207  nninfsellemsuc  13208