ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemopl GIF version

Theorem recexprlemopl 6877
Description: The lower cut of 𝐵 is open. Lemma for recexpr 6890. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemopl ((𝐴P𝑞Q𝑞 ∈ (1st𝐵)) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemopl
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . 4 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
21recexprlemell 6874 . . 3 (𝑞 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)))
3 ltbtwnnqq 6667 . . . . . 6 (𝑞 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦))
43biimpi 118 . . . . 5 (𝑞 <Q 𝑦 → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦))
5 simpll 496 . . . . . . . 8 (((𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦) ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → 𝑞 <Q 𝑟)
6 19.8a 1523 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → ∃𝑦(𝑟 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)))
71recexprlemell 6874 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑟 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)))
86, 7sylibr 132 . . . . . . . . 9 ((𝑟 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → 𝑟 ∈ (1st𝐵))
98adantll 460 . . . . . . . 8 (((𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦) ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → 𝑟 ∈ (1st𝐵))
105, 9jca 300 . . . . . . 7 (((𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦) ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)))
1110expcom 114 . . . . . 6 ((*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴) → ((𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦) → (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵))))
1211reximdv 2463 . . . . 5 ((*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴) → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵))))
134, 12mpan9 275 . . . 4 ((𝑞 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)))
1413exlimiv 1530 . . 3 (∃𝑦(𝑞 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)))
152, 14sylbi 119 . 2 (𝑞 ∈ (1st𝐵) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)))
16153ad2ant3 962 1 ((𝐴P𝑞Q𝑞 ∈ (1st𝐵)) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  {cab 2068  wrex 2350  cop 3409   class class class wbr 3793  cfv 4932  1st c1st 5796  2nd c2nd 5797  Qcnq 6532  *Qcrq 6536   <Q cltq 6537  Pcnp 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605
This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  6881
  Copyright terms: Public domain W3C validator