ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemlol GIF version

Theorem recexprlemlol 6782
Description: The lower cut of 𝐵 is lower. Lemma for recexpr 6794. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemlol ((𝐴P𝑞Q) → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)) → 𝑞 ∈ (1st𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemlol
StepHypRef Expression
1 ltsonq 6554 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
2 ltrelnq 6521 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
31, 2sotri 4748 . . . . . . . 8 ((𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝑦) → 𝑞 <Q 𝑦)
43ex 112 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑟 <Q 𝑦𝑞 <Q 𝑦))
54anim1d 323 . . . . . 6 (𝑞 <Q 𝑟 → ((𝑟 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → (𝑞 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))))
65eximdv 1776 . . . . 5 (𝑞 <Q 𝑟 → (∃𝑦(𝑟 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)) → ∃𝑦(𝑞 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))))
7 recexpr.1 . . . . . 6 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
87recexprlemell 6778 . . . . 5 (𝑟 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑟 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)))
97recexprlemell 6778 . . . . 5 (𝑞 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴)))
106, 8, 93imtr4g 198 . . . 4 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑟 ∈ (1st𝐵) → 𝑞 ∈ (1st𝐵)))
1110imp 119 . . 3 ((𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)) → 𝑞 ∈ (1st𝐵))
1211rexlimivw 2446 . 2 (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)) → 𝑞 ∈ (1st𝐵))
1312a1i 9 1 ((𝐴P𝑞Q) → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)) → 𝑞 ∈ (1st𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  {cab 2042  wrex 2324  cop 3406   class class class wbr 3792  cfv 4930  1st c1st 5793  2nd c2nd 5794  Qcnq 6436  *Qcrq 6440   <Q cltq 6441  Pcnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-lti 6463  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  6785
  Copyright terms: Public domain W3C validator