ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlelttr GIF version

Theorem xrlelttr 8822
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrlelttr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrlelttr
StepHypRef Expression
1 simprl 491 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴𝐵)
2 simpl1 918 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simpl2 919 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrlenlt 7142 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
52, 3, 4syl2anc 397 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
61, 5mpbid 139 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
76pm2.21d 559 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
8 idd 21 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
9 simprr 492 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
10 simpl3 920 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11 xrltso 8817 . . . . . 6 < Or ℝ*
12 sowlin 4084 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
1311, 12mpan 408 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
143, 10, 2, 13syl3anc 1146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
159, 14mpd 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
167, 8, 15mpjaod 648 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
1716ex 112 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896  wcel 1409   class class class wbr 3791   Or wor 4059  *cxr 7117   < clt 7118  cle 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-po 4060  df-iso 4061  df-xp 4378  df-cnv 4380  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124
This theorem is referenced by:  xrlelttrd  8826  xrre  8833  xrre2  8834  iooss1  8885  iccssioo  8911  iccssico  8914  iocssioo  8932  ioossioo  8934  ico0  9217
  Copyright terms: Public domain W3C validator