MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3ecoptocl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3ecoptocl 7784
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
3ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
3ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
3ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
3ecoptocl.4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒𝜃))
3ecoptocl.5 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
3ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝐶,𝑢   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑧,𝑆,𝑤,𝑣,𝑢   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝜃,𝑣,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 3ecoptocl
StepHypRef Expression
1 3ecoptocl.1 . . . 4 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
2 3ecoptocl.3 . . . . 5 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 330 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 3ecoptocl.4 . . . . 5 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒𝜃))
54imbi2d 330 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → ((𝐴𝑆𝜒) ↔ (𝐴𝑆𝜃)))
6 3ecoptocl.2 . . . . . . 7 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
76imbi2d 330 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → ((((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑) ↔ (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜓)))
8 3ecoptocl.5 . . . . . . 7 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑)
983expib 1265 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑))
101, 7, 9ecoptocl 7782 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜓))
1110com12 32 . . . 4 (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → (𝐴𝑆𝜓))
121, 3, 5, 112ecoptocl 7783 . . 3 ((𝐵𝑆𝐶𝑆) → (𝐴𝑆𝜃))
1312com12 32 . 2 (𝐴𝑆 → ((𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃))
14133impib 1259 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4154   × cxp 5072  [cec 7685   / cqs 7686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080  df-cnv 5082  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ec 7689  df-qs 7693
This theorem is referenced by:  ecovass  7800  ecovdi  7801  ltsosr  9859  ltasr  9865
  Copyright terms: Public domain W3C validator