Theorem dfsymrels5 35799

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels5	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦

Proof of Theorem dfsymrels5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels4 35798	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}
2		elrelscnveq2 35748	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 = 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)))
3	1, 2	rabimbieq 35528	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Syntax hints:   ↔ wb 208  ∀wal 1535   = wceq 1537  {crab 3142   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554   Rels crels 35470   SymRels csymrels 35479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5067  df-opab 5129  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-rels 35740  df-ssr 35753  df-syms 35793  df-symrels 35794

This theorem is referenced by:  elsymrels5  35807