Theorem eleldisjseldisj 35996

Description: The element of the disjoint elements class and the disjoint elementhood predicate are the same, that is (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴) when 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eleldisjseldisj	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eleldisjseldisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleldisjs 35995	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ))
2		cnvepresex 35625	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eldisjsdisj 35994	. . . 4 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-eldisj 35974	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	syl6bbr 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2113  Vcvv 3491   E cep 5457  ^◡ccnv 5547   ↾ cres 5550   Disjs cdisjs 35520   Disj wdisjALTV 35521   ElDisjs celdisjs 35522   ElDisj weldisj 35523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-eprel 5458  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-coss 35693  df-rels 35759  df-ssr 35772  df-cnvrefs 35797  df-cnvrefrels 35798  df-cnvrefrel 35799  df-disjss 35970  df-disjs 35971  df-disjALTV 35972  df-eldisjs 35973  df-eldisj 35974

This theorem is referenced by: (None)