Theorem ensucne0 39969

Description: A class equinumerous to a successor is never empty. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.) (Proof shortened by SN, 16-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ensucne0	⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem ensucne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6268	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 ≠ ∅
2		ensymb 8554	. . . . 5 ⊢ (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 ≈ ∅)
3		en0 8569	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ≈ ∅ ↔ suc 𝐵 = ∅)
4	2, 3	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ suc 𝐵 ↔ suc 𝐵 = ∅)
5	1, 4	nemtbir 3111	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc 𝐵
6		breq1 5066	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∅ ≈ suc 𝐵))
7	5, 6	mtbiri 329	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
8	7	necon2ai 3044	1 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ≠ wne 3015  ∅c0 4288   class class class wbr 5063  suc csuc 6190   ≈ cen 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3495  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4836  df-br 5064  df-opab 5126  df-id 5457  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-suc 6194  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-er 8286  df-en 8507

This theorem is referenced by: (None)