Theorem fileln0 22460

Description: An element of a filter is nonempty. (Contributed by FL, 24-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fileln0	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem fileln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ 𝐹)
2		0nelfil 22459	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3		nelne2 3117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2, 3	syl2anr 598	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∅c0 4293  ‘cfv 6357  Filcfil 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-fbas 20544  df-fil 22456

This theorem is referenced by:  filinn0  22470  filintn0  22471  alexsublem  22654  cfil3i  23874  iscmet3  23898  filnetlem4  33731