MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiclcl 19010
Description: Isomorphism implies the left side is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmiclcl (𝑅𝑚 𝑆𝑅 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmiclcl
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 19008 . . 3 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3913 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
31, 2bitri 264 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4 lmimlmhm 19004 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5 lmhmlmod1 18973 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
76exlimiv 1855 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
83, 7sylbi 207 1 (𝑅𝑚 𝑆𝑅 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  c0 3897   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  LModclmod 18803   LMHom clmhm 18959   LMIso clmim 18960  𝑚 clmic 18961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-1o 7520  df-lmhm 18962  df-lmim 18963  df-lmic 18964
This theorem is referenced by:  lmisfree  20121
  Copyright terms: Public domain W3C validator