Theorem opab0 5441

Description: Empty ordered pair class abstraction. (Contributed by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
opab0	⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑)

Proof of Theorem opab0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabn0 5440	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦𝜑)
2		df-ne 3017	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ¬ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = ∅)
3		2exnaln 1829	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑)
4	1, 2, 3	3bitr3i 303	. 2 ⊢ (¬ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ¬ ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑)
5	4	con4bii 323	1 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1780   ≠ wne 3016  ∅c0 4291  {copab 5128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-opab 5129

This theorem is referenced by:  iresn0n0  5923  fvmptopab  7209  epinid0  9064  cnvepnep  9071  opabf  35635  sprsymrelfvlem  43672