Theorem psmetdmdm 21868

Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetdmdm	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem psmetdmdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6116	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		ispsmet 21867	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
3	2	biimpa 499	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
4	1, 3	mpancom 699	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
5	4	simpld 473	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
6		fdm 5950	. . . 4 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
7	6	dmeqd 5235	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
9		dmxpid 5253	. 2 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
10	8, 9	syl6req 2660	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∀wral 2895  Vcvv 3172   class class class wbr 4577   × cxp 5026  dom cdm 5028  ⟶wf 5786  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  ℝ^*cxr 9930   ≤ cle 9932   +_𝑒 cxad 11779  PsMetcpsmet 19500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-map 7724  df-xr 9935  df-psmet 19508

This theorem is referenced by:  blfvalps  21946  metuval  22112  metidval  29095  pstmval  29100