Theorem snmapen1 8584

Description: Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to ordinal 1. (Proposed by BJ, 17-Jul-2022.) (Contributed by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
snmapen1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)

Proof of Theorem snmapen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmapen 8583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})
2		ensn1g 8567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3	2	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴} ≈ 1o)
4		entr 8554	. 2 ⊢ ((({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)
5	1, 3, 4	syl2anc 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113  {csn 4560   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  1_oc1o 8088   ↑_m cmap 8399   ≈ cen 8499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1o 8095  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503

This theorem is referenced by:  map1  8585