Theorem elvvk 4208

Description: Membership in (_V X._k _V). (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elvvk	|- (A e. (_V X.k _V) <-> E.xE.y A = <<x, y>>)

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem elvvk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpk 4197	. 2 |- (A e. (_V X.k _V) <-> E.xE.y(A = <<x, y>> /\ (x e. _V /\ y e. _V)))
2		vex 2863	. . . . 5 |- x e. _V
3		vex 2863	. . . . 5 |- y e. _V
4	2, 3	pm3.2i 441	. . . 4 |- (x e. _V /\ y e. _V)
5	4	biantru 491	. . 3 |- (A = <<x, y>> <-> (A = <<x, y>> /\ (x e. _V /\ y e. _V)))
6	5	2exbii 1583	. 2 |- (E.xE.y A = <<x, y>> <-> E.xE.y(A = <<x, y>> /\ (x e. _V /\ y e. _V)))
7	1, 6	bitr4i 243	1 |- (A e. (_V X.k _V) <-> E.xE.y A = <<x, y>>)

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  <<copk 4058   X._k cxpk 4175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186

This theorem is referenced by:  opkabssvvk  4209  ssrelk  4212  eqrelk  4213  insklem  4305  ltfinex  4465  setconslem4  4735  setconslem6  4737