Theorem eqrelk 4213

Description: Equality for two Kuratowski relationships. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqrelk	|- ((A C_ (_V X.k _V) /\ B C_ (_V X.k _V)) -> (A = B <-> A.xA.y(<<x, y>> e. A <-> <<x, y>> e. B)))

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem eqrelk

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssofeq 4078	. 2 |- ((A C_ (_V X.k _V) /\ B C_ (_V X.k _V)) -> (A = B <-> A.z e. (_V X.k _V)(z e. A <-> z e. B)))
2		df-ral 2620	. . 3 |- (A.z e. (_V X.k _V)(z e. A <-> z e. B) <-> A.z(z e. (_V X.k _V) -> (z e. A <-> z e. B)))
3		elvvk 4208	. . . . . . 7 |- (z e. (_V X.k _V) <-> E.xE.y z = <<x, y>>)
4	3	imbi1i 315	. . . . . 6 |- ((z e. (_V X.k _V) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> (E.xE.y z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)))
5		19.23vv 1892	. . . . . 6 |- (A.xA.y(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> (E.xE.y z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)))
6	4, 5	bitr4i 243	. . . . 5 |- ((z e. (_V X.k _V) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.y(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)))
7	6	albii 1566	. . . 4 |- (A.z(z e. (_V X.k _V) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.zA.xA.y(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)))
8		alrot3 1738	. . . 4 |- (A.zA.xA.y(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.yA.z(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)))
9	7, 8	bitri 240	. . 3 |- (A.z(z e. (_V X.k _V) -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.yA.z(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)))
10		opkex 4114	. . . . 5 |- <<x, y>> e. _V
11		eleq1 2413	. . . . . 6 |- (z = <<x, y>> -> (z e. A <-> <<x, y>> e. A))
12		eleq1 2413	. . . . . 6 |- (z = <<x, y>> -> (z e. B <-> <<x, y>> e. B))
13	11, 12	bibi12d 312	. . . . 5 |- (z = <<x, y>> -> ((z e. A <-> z e. B) <-> (<<x, y>> e. A <-> <<x, y>> e. B)))
14	10, 13	ceqsalv 2886	. . . 4 |- (A.z(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> (<<x, y>> e. A <-> <<x, y>> e. B))
15	14	2albii 1567	. . 3 |- (A.xA.yA.z(z = <<x, y>> -> (z e. A <-> z e. B)) <-> A.xA.y(<<x, y>> e. A <-> <<x, y>> e. B))
16	2, 9, 15	3bitri 262	. 2 |- (A.z e. (_V X.k _V)(z e. A <-> z e. B) <-> A.xA.y(<<x, y>> e. A <-> <<x, y>> e. B))
17	1, 16	syl6bb 252	1 |- ((A C_ (_V X.k _V) /\ B C_ (_V X.k _V)) -> (A = B <-> A.xA.y(<<x, y>> e. A <-> <<x, y>> e. B)))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  A.wral 2615  _Vcvv 2860   C_ wss 3258  <<copk 4058   X._k cxpk 4175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186

This theorem is referenced by:  eqrelkriiv  4214  eqrelkrdv  4215  cnvkexg  4287  ssetkex  4295