Theorem iuncom 3976

Description: Commutation of indexed unions. (Contributed by NM, 18-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom	|- U_x e. A U_y e. B C = U_y e. B U_x e. A C

Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y

Allowed substitution hints:   A(x)   B(y)   C(x,y)

Proof of Theorem iuncom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2773	. . . 4 |- (E.x e. A E.y e. B z e. C <-> E.y e. B E.x e. A z e. C)
2		eliun 3974	. . . . 5 |- (z e. U_y e. B C <-> E.y e. B z e. C)
3	2	rexbii 2640	. . . 4 |- (E.x e. A z e. U_y e. B C <-> E.x e. A E.y e. B z e. C)
4		eliun 3974	. . . . 5 |- (z e. U_x e. A C <-> E.x e. A z e. C)
5	4	rexbii 2640	. . . 4 |- (E.y e. B z e. U_x e. A C <-> E.y e. B E.x e. A z e. C)
6	1, 3, 5	3bitr4i 268	. . 3 |- (E.x e. A z e. U_y e. B C <-> E.y e. B z e. U_x e. A C)
7		eliun 3974	. . 3 |- (z e. U_x e. A U_y e. B C <-> E.x e. A z e. U_y e. B C)
8		eliun 3974	. . 3 |- (z e. U_y e. B U_x e. A C <-> E.y e. B z e. U_x e. A C)
9	6, 7, 8	3bitr4i 268	. 2 |- (z e. U_x e. A U_y e. B C <-> z e. U_y e. B U_x e. A C)
10	9	eqriv 2350	1 |- U_x e. A U_y e. B C = U_y e. B U_x e. A C

Syntax hints:   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2616  U_ciun 3970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-iun 3972

This theorem is referenced by: (None)