Theorem iuncom4 3976

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	|- U_x e. A U.B = U.U_x e. A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2620	. . . . . . 7 |- (E.z e. B y e. z <-> E.z(z e. B /\ y e. z))
2	1	rexbii 2639	. . . . . 6 |- (E.x e. A E.z e. B y e. z <-> E.x e. A E.z(z e. B /\ y e. z))
3		rexcom4 2878	. . . . . 6 |- (E.x e. A E.z(z e. B /\ y e. z) <-> E.zE.x e. A (z e. B /\ y e. z))
4	2, 3	bitri 240	. . . . 5 |- (E.x e. A E.z e. B y e. z <-> E.zE.x e. A (z e. B /\ y e. z))
5		r19.41v 2764	. . . . . 6 |- (E.x e. A (z e. B /\ y e. z) <-> (E.x e. A z e. B /\ y e. z))
6	5	exbii 1582	. . . . 5 |- (E.zE.x e. A (z e. B /\ y e. z) <-> E.z(E.x e. A z e. B /\ y e. z))
7	4, 6	bitri 240	. . . 4 |- (E.x e. A E.z e. B y e. z <-> E.z(E.x e. A z e. B /\ y e. z))
8		eluni2 3895	. . . . 5 |- (y e. U.B <-> E.z e. B y e. z)
9	8	rexbii 2639	. . . 4 |- (E.x e. A y e. U.B <-> E.x e. A E.z e. B y e. z)
10		df-rex 2620	. . . . 5 |- (E.z e. U_ x e. A By e. z <-> E.z(z e. U_x e. A B /\ y e. z))
11		eliun 3973	. . . . . . 7 |- (z e. U_x e. A B <-> E.x e. A z e. B)
12	11	anbi1i 676	. . . . . 6 |- ((z e. U_x e. A B /\ y e. z) <-> (E.x e. A z e. B /\ y e. z))
13	12	exbii 1582	. . . . 5 |- (E.z(z e. U_x e. A B /\ y e. z) <-> E.z(E.x e. A z e. B /\ y e. z))
14	10, 13	bitri 240	. . . 4 |- (E.z e. U_ x e. A By e. z <-> E.z(E.x e. A z e. B /\ y e. z))
15	7, 9, 14	3bitr4i 268	. . 3 |- (E.x e. A y e. U.B <-> E.z e. U_ x e. A By e. z)
16		eliun 3973	. . 3 |- (y e. U_x e. A U.B <-> E.x e. A y e. U.B)
17		eluni2 3895	. . 3 |- (y e. U.U_x e. A B <-> E.z e. U_ x e. A By e. z)
18	15, 16, 17	3bitr4i 268	. 2 |- (y e. U_x e. A U.B <-> y e. U.U_x e. A B)
19	18	eqriv 2350	1 |- U_x e. A U.B = U.U_x e. A B

Syntax hints:   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2615  U.cuni 3891  U_ciun 3969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-uni 3892  df-iun 3971

This theorem is referenced by: (None)