Theorem ncslemuc 6256

Description: A cardinal is less than or equal to its product with another. Theorem XI.2.36 of [Rosser] p. 381. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ncslemuc	|- ((M e. NC /\ N e. NC /\ N =/= 0c) -> M <_c (M ·c N))

Proof of Theorem ncslemuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2519	. . . . 5 |- (N =/= 0c <-> -. N = 0c)
2		nc0le1 6217	. . . . . 6 |- (N e. NC -> (N = 0c \/ 1c <_c N))
3	2	ord 366	. . . . 5 |- (N e. NC -> (-. N = 0c -> 1c <_c N))
4	1, 3	syl5bi 208	. . . 4 |- (N e. NC -> (N =/= 0c -> 1c <_c N))
5	4	imp 418	. . 3 |- ((N e. NC /\ N =/= 0c) -> 1c <_c N)
6	5	3adant1 973	. 2 |- ((M e. NC /\ N e. NC /\ N =/= 0c) -> 1c <_c N)
7		mucid1 6144	. . . . . 6 |- (M e. NC -> (M ·c 1c) = M)
8	7	ad2antrr 706	. . . . 5 |- (((M e. NC /\ N e. NC ) /\ 1c <_c N) -> (M ·c 1c) = M)
9		1cnc 6140	. . . . . 6 |- 1c e. NC
10		lemuc2 6255	. . . . . 6 |- (((M e. NC /\ 1c e. NC /\ N e. NC ) /\ 1c <_c N) -> (M ·c 1c) <_c (M ·c N))
11	9, 10	mp3anl2 1272	. . . . 5 |- (((M e. NC /\ N e. NC ) /\ 1c <_c N) -> (M ·c 1c) <_c (M ·c N))
12	8, 11	eqbrtrrd 4662	. . . 4 |- (((M e. NC /\ N e. NC ) /\ 1c <_c N) -> M <_c (M ·c N))
13	12	ex 423	. . 3 |- ((M e. NC /\ N e. NC ) -> (1c <_c N -> M <_c (M ·c N)))
14	13	3adant3 975	. 2 |- ((M e. NC /\ N e. NC /\ N =/= 0c) -> (1c <_c N -> M <_c (M ·c N)))
15	6, 14	mpd 14	1 |- ((M e. NC /\ N e. NC /\ N =/= 0c) -> M <_c (M ·c N))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2517  1_cc1c 4135  0_cc0c 4375   class class class wbr 4640  (class class class)co 5526   NC cncs 6089   <__c clec 6090   ·_c cmuc 6093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-pprod 5739  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-cross 5765  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102  df-muc 6103

This theorem is referenced by:  ncvsq  6257