Theorem phiexg 4572

Description: The phi operator preserves sethood. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phiexg	|- (A e. V -> Phi A e. _V)

Proof of Theorem phiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 4570	. 2 |- Phi A = (((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)))"kA)
2		addcexlem 4383	. . . . . . 7 |- ( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
3		1cex 4143	. . . . . . . . 9 |- 1c e. _V
4	3	pw1ex 4304	. . . . . . . 8 |- ~P1 1c e. _V
5	4	pw1ex 4304	. . . . . . 7 |- ~P1 ~P1 1c e. _V
6	2, 5	imakex 4301	. . . . . 6 |- (( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) e. _V
7	6	imagekex 4313	. . . . 5 |- Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) e. _V
8		nncex 4397	. . . . . 6 |- Nn e. _V
9		vvex 4110	. . . . . 6 |- _V e. _V
10	8, 9	xpkex 4290	. . . . 5 |- ( Nn X.k _V) e. _V
11	7, 10	inex 4106	. . . 4 |- (Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) e. _V
12		idkex 4315	. . . . 5 |- _I_kk e. _V
13	8	complex 4105	. . . . . 6 |- ∼ Nn e. _V
14	13, 9	xpkex 4290	. . . . 5 |- ( ∼ Nn X.k _V) e. _V
15	12, 14	inex 4106	. . . 4 |- ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)) e. _V
16	11, 15	unex 4107	. . 3 |- ((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) e. _V
17		imakexg 4300	. . 3 |- ((((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) e. _V /\ A e. V) -> (((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)))"kA) e. _V)
18	16, 17	mpan 651	. 2 |- (A e. V -> (((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)))"kA) e. _V)
19	1, 18	syl5eqel 2437	1 |- (A e. V -> Phi A e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209   (+) csymdif 3210  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   X._k cxpk 4175   Ins2_k cins2k 4177   Ins3_k cins3k 4178  "_kcimak 4180   SI_k csik 4182  Image_kcimagek 4183   S_k cssetk 4184   _I_k_k cidk 4185   Nn cnnc 4374   Phi cphi 4563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566

This theorem is referenced by:  phiex  4573