Theorem addcexlem 4383

Description: The expression at the heart of dfaddc2 4382 is a set. (Contributed by SF, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addcexlem	|- ( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Proof of Theorem addcexlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssetkex 4295	. . . . . . 7 |- Sk e. _V
2	1	ins3kex 4309	. . . . . 6 |- Ins3k Sk e. _V
3	1	ins2kex 4308	. . . . . 6 |- Ins2k Sk e. _V
4	2, 3	inex 4106	. . . . 5 |- ( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk ) e. _V
5		1cex 4143	. . . . . . 7 |- 1c e. _V
6	5	pw1ex 4304	. . . . . 6 |- ~P1 1c e. _V
7	6	pw1ex 4304	. . . . 5 |- ~P1 ~P1 1c e. _V
8	4, 7	imakex 4301	. . . 4 |- (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
9	8	complex 4105	. . 3 |- ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
10	9	ins3kex 4309	. 2 |- Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
11	3	ins2kex 4308	. . . 4 |- Ins2k Ins2k Sk e. _V
12	2	ins2kex 4308	. . . . 5 |- Ins2k Ins3k Sk e. _V
13	1	sikex 4298	. . . . . . 7 |- SIk Sk e. _V
14	13	sikex 4298	. . . . . 6 |- SIk SIk Sk e. _V
15	14	ins3kex 4309	. . . . 5 |- Ins3k SIk SIk Sk e. _V
16	12, 15	unex 4107	. . . 4 |- ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ) e. _V
17	11, 16	symdifex 4109	. . 3 |- ( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk )) e. _V
18	7	pw1ex 4304	. . . 4 |- ~P1 ~P1 ~P1 1c e. _V
19	18	pw1ex 4304	. . 3 |- ~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c e. _V
20	17, 19	imakex 4301	. 2 |- (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c) e. _V
21	10, 20	difex 4108	1 |- ( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1710  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209   (+) csymdif 3210  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   Ins2_k cins2k 4177   Ins3_k cins3k 4178  "_kcimak 4180   SI_k csik 4182   S_k cssetk 4184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194

This theorem is referenced by:  addcexg  4394  nncex  4397  nnc0suc  4413  nncaddccl  4420  nnsucelrlem1  4425  preaddccan2lem1  4455  ltfinex  4465  evenodddisjlem1  4516  phiexg  4572  opexg  4588  proj1exg  4592  proj2exg  4593  phialllem1  4617  setconslem5  4736  1stex  4740  swapex  4743