Theorem uniexg 4317

Description: The sum class of a set is a set. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uniexg	|- (A e. V -> U.A e. _V)

Proof of Theorem uniexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfuni3 4316	. 2 |- U.A = ⋃1(`'k Sk "kA)
2		ssetkex 4295	. . . . 5 |- Sk e. _V
3	2	cnvkex 4288	. . . 4 |- `'k Sk e. _V
4		imakexg 4300	. . . 4 |- ((`'k Sk e. _V /\ A e. V) -> (`'k Sk "kA) e. _V)
5	3, 4	mpan 651	. . 3 |- (A e. V -> (`'k Sk "kA) e. _V)
6		uni1exg 4293	. . 3 |- ((`'k Sk "kA) e. _V -> ⋃1(`'k Sk "kA) e. _V)
7	5, 6	syl 15	. 2 |- (A e. V -> ⋃1(`'k Sk "kA) e. _V)
8	1, 7	syl5eqel 2437	1 |- (A e. V -> U.A e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  U.cuni 3892  ⋃₁cuni1 4134  `'_kccnvk 4176  "_kcimak 4180   S_k cssetk 4184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-opk 4059  df-1c 4137  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194

This theorem is referenced by:  uniex  4318  pw1exb  4327