Theorem pw1exb 4327

Description: Biconditional existence for unit power class. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw1exb	|- (~P1 A e. _V <-> A e. _V)

Proof of Theorem pw1exb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unipw1 4326	. . 3 |- U.~P1 A = A
2		uniexg 4317	. . 3 |- (~P1 A e. _V -> U.~P1 A e. _V)
3	1, 2	syl5eqelr 2438	. 2 |- (~P1 A e. _V -> A e. _V)
4		pw1exg 4303	. 2 |- (A e. _V -> ~P1 A e. _V)
5	3, 4	impbii 180	1 |- (~P1 A e. _V <-> A e. _V)

Syntax hints:   <-> wb 176   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  U.cuni 3892  ~P₁ cpw1 4136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194

This theorem is referenced by:  ncfinlower  4484  enpw1  6063  nenpw1pwlem2  6086  ce0nnuli  6179