Theorem oa4gto4u 976

Description: A "universal" 4-OA derived from the Godowski/Greechie form. The hypotheses are the Godowski/Greechie form of the proper 4-OA and substitutions into it. (Contributed by NM, 30-Dec-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
oa4gto4u.1	((e →1 d) ∩ (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d)))))) ≤ (f →1 d)
oa4gto4u.2	f = (a →1 d)
oa4gto4u3	e = (b →1 d)
oa4gto4u.4	g = (c →1 d)

Assertion

Ref	Expression
oa4gto4u	((a →1 d) ∩ ((a⊥ →1 d) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ ((((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))) ∪ ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d)))))))) ≤ d

Proof of Theorem oa4gto4u

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa4gto4u.2	. . . 4 f = (a →1 d)
2	1	ud1lem0b 256	. . . . . 6 (f →1 d) = ((a →1 d) →1 d)
3		u1lem12 781	. . . . . 6 ((a →1 d) →1 d) = (a⊥ →1 d)
4	2, 3	ax-r2 36	. . . . 5 (f →1 d) = (a⊥ →1 d)
5		oa4gto4u3	. . . . . . . 8 e = (b →1 d)
6	5	ud1lem0b 256	. . . . . . 7 (e →1 d) = ((b →1 d) →1 d)
7		u1lem12 781	. . . . . . 7 ((b →1 d) →1 d) = (b⊥ →1 d)
8	6, 7	ax-r2 36	. . . . . 6 (e →1 d) = (b⊥ →1 d)
9		ancom 74	. . . . . . . . 9 (e ∩ f) = (f ∩ e)
10	1, 5	2an 79	. . . . . . . . 9 (f ∩ e) = ((a →1 d) ∩ (b →1 d))
11	9, 10	ax-r2 36	. . . . . . . 8 (e ∩ f) = ((a →1 d) ∩ (b →1 d))
12		ancom 74	. . . . . . . . 9 ((e →1 d) ∩ (f →1 d)) = ((f →1 d) ∩ (e →1 d))
13	4, 8	2an 79	. . . . . . . . 9 ((f →1 d) ∩ (e →1 d)) = ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))
14	12, 13	ax-r2 36	. . . . . . . 8 ((e →1 d) ∩ (f →1 d)) = ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))
15	11, 14	2or 72	. . . . . . 7 ((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) = (((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d)))
16		ancom 74	. . . . . . . 8 (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d)))) = (((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))))
17		oa4gto4u.4	. . . . . . . . . . 11 g = (c →1 d)
18	1, 17	2an 79	. . . . . . . . . 10 (f ∩ g) = ((a →1 d) ∩ (c →1 d))
19	17	ud1lem0b 256	. . . . . . . . . . . 12 (g →1 d) = ((c →1 d) →1 d)
20		u1lem12 781	. . . . . . . . . . . 12 ((c →1 d) →1 d) = (c⊥ →1 d)
21	19, 20	ax-r2 36	. . . . . . . . . . 11 (g →1 d) = (c⊥ →1 d)
22	4, 21	2an 79	. . . . . . . . . 10 ((f →1 d) ∩ (g →1 d)) = ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))
23	18, 22	2or 72	. . . . . . . . 9 ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d))) = (((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d)))
24	5, 17	2an 79	. . . . . . . . . 10 (e ∩ g) = ((b →1 d) ∩ (c →1 d))
25	8, 21	2an 79	. . . . . . . . . 10 ((e →1 d) ∩ (g →1 d)) = ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))
26	24, 25	2or 72	. . . . . . . . 9 ((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) = (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d)))
27	23, 26	2an 79	. . . . . . . 8 (((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d)))) = ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))))
28	16, 27	ax-r2 36	. . . . . . 7 (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d)))) = ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))))
29	15, 28	2or 72	. . . . . 6 (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d))))) = ((((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))) ∪ ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d)))))
30	8, 29	2an 79	. . . . 5 ((e →1 d) ∩ (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d)))))) = ((b⊥ →1 d) ∩ ((((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))) ∪ ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))))))
31	4, 30	2or 72	. . . 4 ((f →1 d) ∪ ((e →1 d) ∩ (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d))))))) = ((a⊥ →1 d) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ ((((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))) ∪ ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d)))))))
32	1, 31	2an 79	. . 3 (f ∩ ((f →1 d) ∪ ((e →1 d) ∩ (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d)))))))) = ((a →1 d) ∩ ((a⊥ →1 d) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ ((((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))) ∪ ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))))))))
33	32	ax-r1 35	. 2 ((a →1 d) ∩ ((a⊥ →1 d) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ ((((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))) ∪ ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d)))))))) = (f ∩ ((f →1 d) ∪ ((e →1 d) ∩ (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d))))))))
34		oa4gto4u.1	. . 3 ((e →1 d) ∩ (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d)))))) ≤ (f →1 d)
35	34	oaur 930	. 2 (f ∩ ((f →1 d) ∪ ((e →1 d) ∩ (((e ∩ f) ∪ ((e →1 d) ∩ (f →1 d))) ∪ (((e ∩ g) ∪ ((e →1 d) ∩ (g →1 d))) ∩ ((f ∩ g) ∪ ((f →1 d) ∩ (g →1 d)))))))) ≤ d
36	33, 35	bltr 138	1 ((a →1 d) ∩ ((a⊥ →1 d) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ ((((a →1 d) ∩ (b →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (b⊥ →1 d))) ∪ ((((a →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((a⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d))) ∩ (((b →1 d) ∩ (c →1 d)) ∪ ((b⊥ →1 d) ∩ (c⊥ →1 d)))))))) ≤ d

This proof depends on syntax axioms:   = wb 1   ≤ wle 2  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₁ wi1 12

This proof depends on axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439

This proof depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133

This theorem is used by:  d6oa  997  axoa4  1034