Theorem oaliii 1001

Description: Orthoarguesian law. Godowski/Greechie, Eq. III. (Contributed by NM, 22-Sep-1998.)

Assertion

Ref	Expression
oaliii	((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Proof of Theorem oaliii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 76	. . . . 5 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
2		anidm 111	. . . . . 6 (((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
3	2	lan 77	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
4	1, 3	ax-r2 36	. . . 4 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
5	4	ax-r1 35	. . 3 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
6		oal2 999	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (a →2 c)
7	6	leran 153	. . 3 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
8	5, 7	bltr 138	. 2 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
9		anass 76	. . . . 5 (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ (((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
10		ax-a2 31	. . . . . . . . . 10 (c ∪ b) = (b ∪ c)
11	10	ax-r4 37	. . . . . . . . 9 (c ∪ b)⊥ = (b ∪ c)⊥
12		ancom 74	. . . . . . . . 9 ((a →2 c) ∩ (a →2 b)) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
13	11, 12	2or 72	. . . . . . . 8 ((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) = ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
14	13	ran 78	. . . . . . 7 (((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
15	14, 2	ax-r2 36	. . . . . 6 (((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
16	15	lan 77	. . . . 5 ((a →2 c) ∩ (((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
17	9, 16	ax-r2 36	. . . 4 (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
18	17	ax-r1 35	. . 3 ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
19		oal2 999	. . . 4 ((a →2 c) ∩ ((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ≤ (a →2 b)
20	19	leran 153	. . 3 (((a →2 c) ∩ ((c ∪ b)⊥ ∪ ((a →2 c) ∩ (a →2 b)))) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
21	18, 20	bltr 138	. 2 ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
22	8, 21	lebi 145	1 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 c) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Syntax hints:   = wb 1  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-3oa 998

This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131

This theorem is referenced by:  oalii  1002  oath1  1004